6.17. - Determinazione dei poli di una rete

Si definiscono poli di una funzione di rete quei valori della variabile s che la rendono infinita. Nell'ipotesi che il circuito sia costituito da una sola maglia contenente un generatore di tensione con in serie due elementi, la funzione d'ingresso coincide con l'inverso dell'impedenza complessiva della maglia. Tale funzione diventa pertanto infinita per quei valori della variabile s che annullano l'impedenza del circuito. Dualmente, se il circuito è costituito da due elementi in parallelo alimentati da un generatore di corrente, la funzione d'ingresso è uguale all'inverso dell'ammettenza complessiva tra i due nodi del circuito e diventa infinita per quei valori della s che annullano l'ammettenza. Per ognuno dei circuiti di una rete è sempre possibile ricondursi ad uno dei due casi precedenti; infatti, dopo aver annullato il generatore indipendente, si può determinare l'impedenza equivalente vista da un elemento qualsiasi del circuito (in genere uno degli elementi reattivi). Si ottengono così una impedenza o una ammettenza e si può indifferentemente imporre che sia nulla la somma delle impedenze, o delle ammettenze, per ricavare i poli della rete. Questo metodo risulta comodo per reti con un polo (I° ordine) o al massimo due poli (II° ordine).

Ad esempio, si consideri la rete di figura a; nell'ipotesi che essa sia alimentata da un generatore di tensione, una volta annullato il generatore indipendente si ottengono quattro elementi tra di loro in parallelo. Annullando l'ammettenza complessiva si ottiene:

.

Risolvendo questa equazione si ottiene l'unico polo della rete:

.

Per tale rete con un solo elemento reattivo indipendente la determinazione del polo coincide sostanzialmente con quella della costante di tempo del circuito. È sufficiente calcolare la vista ai capi di C o di L. Si ha poi

.

Se invece si suppone che la rete sia alimentata da un generatore di corrente, una volta annullato il generatore indipendente si ottengono due circuiti distinti, ciascuno costituito da una resistenza e da un condensatore in parallelo tra loro. Imponendo che sia nulla l'ammettenza relativa ad ognuno dei due circuiti si ottengono due relazioni:

dalle quali dedurre i due poli della rete.

Per la rete di figura b, nell'ipotesi che sia alimentata da un generatore di tensione, una volta annullato il generatore indipendente, si ottiene il circuito di figura e.

Ponendosi ai capi di , si calcola l'ammettenza e la si uguaglia a zero:

,

dalla quale si ricavano i due poli; inoltre, essendo gli elementi reattivi di un solo tipo i poli saranno reali negativi e non coincidenti. Se la rete di figura b viene alimentata da un generatore di corrente si ottiene il circuito di figura f, che presenta due circuiti distinti. Imponendo che sia nulla l'impedenza di uno e l'ammettenza dell'altro, si ha:

,

dalle quali dedurre i due poli della rete.

Per la rete di figura c, alimentata da un generatore di tensione, si ottiene il circuito di figura g.

Ponendosi ai capi di C, si calcola l'ammettenza e la si uguaglia a zero:

;

i poli, essendo presenti tutti gli elementi circuitali passivi (R,L,C) sono due e possono essere reali e negativi (anche coincidenti) oppure complessi coniugati con parte reale negativa. Se la rete di figura c viene alimentata da un generatore di corrente , si ottiene il circuito di figura h, che presenta due circuiti distinti. Imponendo che siano nulle le ammettenze, si ha:

                                                           polo nell'origine

Per la rete di figura d, alimentata da un generatore di tensione, si ottiene il circuito di figura k, costituito da tre impedenze in serie.

Imponendo che sia nulla la somma delle tre impedenze, si ottiene:

da cui

Si ottiene una equazione di secondo grado che, risolta, fornisce i due poli della rete. Se la rete di figura d viene alimentata da un generatore di corrente, si ottiene il circuito di figura i; pertanto si ottengono tre circuiti distinti, ciascuno costituito da una resistenza e da un condensatore in parallelo tra loro. Imponendo che sia nulla l'ammettenza relativa ad ognuno dei tre circuiti si ottengono tre relazioni:

,

dalle quali dedurre i tre poli della rete.

Una rete contenente tutti i tipi di elementi (R,L,C) non ha altre limitazioni per la posizione dei poli oltre a quelle imposte dal principio di stabilità. Se la f.d.t. di una rete passiva presenta una coppia di poli complessi coniugati, la rete contiene sicuramente elementi di tre tipi (R,L e C).

Una rete passiva puramente reattiva ha poli solo sull'asse , a coppie coniugate o nell'origine, non multipli.

Per una rete RC o RL con un terminale in comune tra ingresso e uscita i poli possono essere solo reali negativi o nulli, non multipli.

Il numero dei poli coincide con quello degli elementi reattivi indipendenti della rete.

Un metodo per la determinazione dei poli consiste nel porre uguale a zero l'ammettenza o l'impedenza vista dai capi di un elemento qualsiasi della rete, dopo aver annullato le sorgenti indipendenti. I poli sono determinati dalle soluzioni dell'equazione ottenuta.

Per le reti con un solo elemento reattivo indipendente la determinazione del polo coincide con quella della costante di tempo del circuito.