A.5.1. - Risposta all’onda quadra a valore medio nullo

Si risolve la (A.5.4) con v_i(t) = V_iM

La costante k si ricava imponendo che al tempo t = 0 la tensione di uscita è v_o(0) = V_oH:

Sostituendo si ha:

                                                                                                   (A.5.5)

La (A.5.5) è l’equazione di carica e di scarica di una capacità. Confrontando con l’equazione generale

,

Si ha: valore iniziale a t = 0 Þ v_o(0) = V_oH

valore finale a t = ¥ Þ v_{o( ¥ )} = - (R₁/R)V_iM.

Poiché , la (A.5.5) è una funzione decrescente del tempo.

Sostituendo –V_iM al posto di V_iM, V_oL al posto di V_oH, e passando dalla variabile t a (t - T/ 2 ), si ottiene la risposta dell’uscita durante il semiperiodo negativo di ingresso:

                                                                                               (A.5.6)

che è una funzione crescente del tempo.

I valori di V_oH e V_oL si calcolano risolvendo il sistema che si ottiene dalla (A.5.5) calcolata a t = T/2 e dalla (A.5.6) calcolata a t = T; a tali valori le (A.5.5) e (A.5.6) assumono rispettivamente i valori V_oL e V_oH:

Sostituendo la (A.5.7) nella (A.5.8) al posto di V_oL si calcola, V_oH:

                                                                                                  (A.5.9)

Sostituendo la (A.5.8) nella (A.5.7) al posto di V_oH, si calcola Vol:

                                                                                                  (A.5.10)

Confrontando la (A.5.9) e la (A.5.10), è immediato notare che:

V_oH = - V_oL,

ossia l’uscita oscilla attorno allo zero (che in questo caso è anche il valore medio del segnale di ingresso).

Perché l’uscita sia una rampa lineare, la scarica e la carica della capacità C deve avere una durata molto minore della costante di tempo t ₁. In tale caso si è nel primissimo tratto della curva di carica e scarica che può essere approssimato mediante una retta, ossia sostituendo a

i loro sviluppi in serie di Mac Laurin arrestati alla prima potenza.

La durata della carica e scarica è definita dalla durata del semiperiodo del segnale di ingresso’ ossia:

.

La serie di Mac Laurin dell'esponenziale e^x è:

.

Lo sviluppo di è:

,

e di è:

.

Sostituendo nella (A.5.7) e nella (A.5.8), e arrestando lo sviluppo alla prima potenza si ha:

                                                                     rampa decrescente (A.5.11)

                                                                    rampa crescente (A.5.12)

I valori di V_oH e V_oL si calcolano risolvendo il sistema che si ottiene dalla (A.5.11) calcolata a t = T/2 e dalla (A.5.12) calcolata a t = T; a tali valori le (A.5.11) e (A.5.12) assumono rispettivamente i valori V_oL e V_oH:

____________________________________

.

Sostituendo nella (A.5.13) - V_oH al posto di V_oL, si ha:

Poiché T < < t _{1 Þ} 4 t _{1- T} @ 4 t ₁, per cui

                                                                                         (A.5.14)

Sostituendo la (A.5.14) nella (A.5.11), si ha:

Poiché T < < t ₁ Þ T < < 4 t ₁ Þ T / 4 t ₁ < < 1 Þ T / 4 t ₁ è un termine trascurabile rispetto ad 1, per cui si ha l’equazione della rampa decrescente:

                                                                                                                        (A.5.15)

Le (A.5.14) e (A.5.15) sono state ottenute già nel capitolo 5. Ad analogo risultato si perviene sostituendo la (A.5.14) cambiata di segno nella (A.5.12) per la rampa crescente.