3.3.2. - Poli e frequenze naturali

Se una generica variabile y(t) di una rete con ingresso nullo, ma con un certo stato iniziale, comprende un termine , il numero reale, oppure complesso, s_i viene chiamato frequenza naturale della variabile y(t). L'insieme delle frequenze naturali di una qualsiasi variabile della rete prende il nome di frequenze naturali della rete.

Supponendo ora che il segnale di ingresso alla rete sia la funzione impulsiva d (t) e che la rete si trovi nello stato zero, la risposta coincide con la funzione di rete H(s)

Esprimendo la funzione H(s) come somma di frazioni parziali (supponendo, per semplicità, che i poli siano distinti):

                                                                             ,                                                  (3.3.2.1)

dove K_j viene chiamato residuo del polo p_j, e ricavando l'antitrasformata di ciascun termine della somma, per la proprietà della trasformata di Laplace la risposta h(t) vale:

                                                               .                                      (3.3.2.2)

Poiché si è assunto che il segnale di ingresso fosse la funzione impulsiva d (t), l'ingresso risulta identicamente nullo per t > 0; pertanto la risposta h(t), espressa mediante l'equazione (3.3.2.2), può essere considerata la risposta con ingresso nullo di una rete il cui stato nell'istante 0⁺ è il risultato dell'applicazione all'ingresso, nell'istante t = 0, della funzione impulsiva. Ne segue che, ad ogni polo p_j corrisponde, nell'ipotesi che sia K_j ¹ 0, una frequenza naturale della rete.

Quando si calcola la funzione di rete di una determinata variabile può accadere che un polo vanga cancellato da uno zero; tale polo rappresenta, però, una delle frequenze naturali della rete perché, nella risposta con ingresso nullo, non viene cancellato da alcuno zero. In tale caso il numero dei poli risulta inferiore a quello delle frequenze naturali. Si può pertanto concludere che non è necessariamente vero che ad ogni frequenza naturale di una variabile di rete corrisponde un polo di una funzione di rete che ha come uscita quella variabile di rete.