6.3. – Approssimazione di Bessel (anche detta di Thompson)
Un filtro di Bessel ha una risposta in fase molto lineare e si avvicina quindi ad un comportamento ideale soprattutto per quanto riguarda la risposta temporale ed, in particolare il tempo di ritardo.
In figura sono mostrate le risposte in frequenza e la risposta al segnale a gradino per un filtro passa-basso di Bessel.
La f.d.t. è della forma
dove to è il tempo di ritardo desiderato.
I polinomi in s, denominatori delle f.d.t. di Bessel, per n compreso tra 1 e 5, sono riportati nella seguente tabella.
n |
Denominatori f.d.t. di Bessel |
1 |
S+1 |
2 |
S2+3s+3 |
3 |
(s2+3,6778s+6,4594)(s+2,3222) |
4 |
(s2+5,7924s+9,1401) (s2+4,2076s+11,4878) |
5 |
(s2+6,7039s+14,2725) (s2+4,6494s+18,1563)(s+13,6367) |
L'approssimazione di Bessel mira in primo luogo a conseguire una buona linearità della curva di fase nella banda passante. Ciò equivale ad avere un ritardo di fase o tempo di ritardo tph costante per tutte le frequenze. In questo senso, nell'ambito della banda passante, un filtro di Bessel funge da linea di ritardo. Si noti che la linearità della fase migliora al crescere dell'ordine del filtro.
L'andamento della curva di risposta del modulo è monotono (non vi è ripple) con roll off che raggiunge il suo valore asintotico di n*20dB/decade in maniera molto più graduale che nei due casi precedenti.
Per gli elevati valori di 2a nelle forme quadratiche della f.d.t. (2a = Ö 3 = 0,866 per un filtro del secondo ordine), la risposta al gradino non ha praticamente carattere oscillatorio (assenza di ringing). La figura illustra i diversi effetti prodotti su un'onda quadra da un filtraggio di tipo passa-basso alla Butterworth (fig. a) e alla Bessel (fig. b).
Si nota come nel secondo caso la forma d'onda, traslata nel tempo, mantiene sostanzialmente le sue caratteristiche originali, ad eccezione dell'arrotondamento degli spigoli (rounding-off), conseguenza naturale del filtraggio passa-basso che attenua le armoniche di frequenza elevata.
In sede di progetto, scelto l'ordine del filtro che, oltre al roll-off asintotico, determina il grado di linearità della fase, si può fissare la frequenza di taglio a -3dB oppure, più frequentemente per questo tipo di filtro, il tempo di ritardo desiderato. Sono a questo proposito disponibili apposite tabelle che forniscono i valori di Qo e di fo delle forme quadratiche della f.d.t., normalizzate per f-3dB = 1Hz o per un tempo di ritardo nominale (a f = 0) di 1s.
I filtri di Bessel sono impiegati soprattutto per introdurre piccoli tempi di ritardo nei segnali, nel filtraggio passa-basso di forme d'onda rettangolari in sistemi PWM, e in generale quando deve essere limitata la distorsione di fase.
Per evidenziare le diverse caratteristiche di risposta in ampiezza dei filtri alla Butterworth, alla Chebyshev e alla Bessel, in figura sono riportate le curve relative a filtri passa-basso del secondo ordine di ciascun tipo a guadagno unitario (Ao = 1) e con la stessa fo. Si noti in particolare il diverso valore assunto nei vari casi dal fattore di smorzamento.
