6.2. – Approssimazione di Chebyshev
La risposta in frequenza e la risposta al segnale a gradino per un filtro di Chebyshev sono riportate in figura
La f.d.t., per un filtro passa-basso, ha la forma:
dove 
è il polinomio di Chebyshev, così definito
S è una costante reale < 1, da cui dipende l'ampiezza dell’oscillazione della risposta in frequenza nella banda trasmessa.
Se per esempio, si desidera una attenuazione massima in banda pari a 0,5dB, si hanno i polinomi in s della seguente tabella come denominatori della f.d.t. di Chebyshev, per n compreso tra 1 e 5.
n |
Denominatori f.d.t. di Chebyshev per a MAX = 0,5dB nella banda |
1 |
S+2,8628 |
2 |
S2+1,4256s+1,5162 |
3 |
(s2+0,6265s+1,1425)(s+0,6265) |
4 |
(s2+0,3507s+1,0635) (s2+0,8467s+0,5364) |
5 |
(s2+0,2239s+1,0358) (s2+0,5863s+0,4768)(s+0,3623) |
I filtri di Chebyshev presentano una attenuazione fuori banda superiore a quella dei filtri di Butterworth (a parità di n); tuttavia presentano nella banda trasmessa delle ondulazioni nella risposta in frequenza la cui ampiezza dipende, come si è detto, dal parametro S .
Oltre all' ampiezza del ripple espressa in dB (nei casi pratici mai superiore a 3dB), viene definita la frequenza di frontiera fc detta anche lunghezza del canale di ripple, che in questo caso è la frequenza per la quale la curva di risposta scende definitivamente al di sotto del limite inferiore del guadagno fissato in banda passante.
Per ogni forma quadratica di una f.d.t. di ordine n, i manuali tecnici forniscono il valore di Qo = 1/2a e quello della frequenza naturale fo = w o/2p normalizzato per una frequenza di 1Hz per alcuni valori di ripple (ad esempio, 0,2dB; 0,5dB; 1dB; ecc.). Si noti che il valore di fo è diverso per ogni forma quadratica.
Lo scarso smorzamento rende insoddisfacente la risposta al transitorio dei filtri alla Chebyshev, con overshoot e settling time crescenti sia con l'ordine del filtro che con l'ampiezza del ripple fissata. L'aumento di questi due fattori porta in compenso una maggiore ripidità della curva di risposta, che in determinate applicazioni, non solo in campo audio, si rileva il requisito di maggiore importanza.
